Carl Friedrich Gauss - Vua của các nhà toán học

Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Là con trai của một người thợ thủ công người Đức, nhưng Carl GAUSS từ bé cảm thấy gần gũi hơn với người mẹ thương yêu là bà Dorothea BENZE và GAUSS cho rằng mình thừa hưởng trí thông minh từ người mẹ đáng kính này. Thiên tài của GAUSS thể hiện từ lúc nhỏ. Người ta nói rằng lúc mới lên 3 tuổi, GAUSS đã biết cha mình tính toán sai, và ông đã từng nói đùa rằng: "Tôi học tính trước khi học nói”. Một hôm, ông giáo trường làng bắt học trò làm phép tính cộng các số từ 1,2,3,… đến 100. Trong khi các bạn trong lớp loay hoay làm tính cộng thì chỉ mấy giây đồng hồ, cậu bé Carl đã có đáp số. Thầy giáo ngạc nhiên, và cậu bé Carl giải thích 

1+100=2+99=3+98=…=50+51=101

 nên kết quả là 50×101=5050, lúc này Carl mới 10 tuổi. Chính vì là một đứa bé có thiên tư đặc biệt như vậy nên năm 15 tuổi đã nhận Quận công vùng Brunswick cho học bổng ăn học ở trường Trung học Collegium Carolinum là trường vừa mới mở dành cho những học sinh có năng khiếu đặc biệt. Ba năm sau, GAUSS được vào Đại học Gottingen, và bắt đầu nổi tiếng nhờ những sáng tạo Khoa học đầu tiên.

Năm 1798, GAUSS trở về Brunswick và 3 năm sau (1801) ông cho ra đời tác phẩm Disquisitiones arithmetica.

Những ngày đầu của thế kỷ XIX, các nhà Thiên văn đã phát hiện một hành tinh nhỏ, đặt tên là CÉRÈS. Hành tinh này ở giữa các quỹ đạo của Sao Hoả và Sao Mộc. Nhưng sau đó thì các nhà Thiên Văn không tìm thấy CÉRÈS nữa, dùng kính viễn vọng cũng vô ích. GAUSS bèn dùng một phương pháp Toán học mới, dựa trên Lý thuyết các bình phương nhỏ nhất để xác định quỹ đạo của hành tinh nhỏ CÉRÈS. Cuối năm 1801 người ta lại tìm thấy hành tinh nhỏ này đúng y chỗ mà GAUSS đã tính toán, ta thấy GAUSS tài giỏi biết là dường nào. Bằng thành tích này GAUSS đã mở ra một con đường mới trong tính toán Thiên văn: phương pháp tiếp cận bằng Toán học trong Thiên văn. Tên tuổi ông bắt đầu vang dội. Nhưng năm 1805 ông yêu đương mãnh liệt và bị một cú sốc nặng vì thất tình. Ông chán ghét nghề dạy học. Ông nghĩ một cách sai lầm rằng ông không có gì để học tập các nhà Toán học khác và cho rằng những công trình sáng tạo Toán học của ông như những ánh xạ bảo giác, độ cong của một mặt không đáng giá gì so với những sáng tạo, tìm tòi của ông về Thiên văn-Trắc địa, vì vậy ông nhận lời vội vàng làm Giám đốc đài Thiên văn Gottingen năm 1807.

Năm 1809, một tai hoạ giáng xuống gia đình ông: vợ ông, bà Johanna từ trần. Lần cưới vợ thứ hai là một gánh nặng đối với ông, ông trở nên thô bạo với các con. Quay về với Trắc địa, ông bỏ rơi Toán học, chú ý đến Thiên văn. Nhưng ông đã có bạn tâm giao mới là Wilhelm WEBER đã mời GAUSS cùng nghiên cứu với mình đặt cơ sở cho Lý thuyết Từ học. Nhưng sự hợp tác khoa học này không lâu vì năm 1837 WEBER đã từ chối phục vụ chế độ mới, thế là hai nhà Khoa học phải chia tay. Tuy vậy GAUSS cũng đạt được nhiều kết quả trong Vật lý như bài toán về mao dẫn, tinh thể học… Tuy không trực tiếp giảng dạy nhiều ở Đại học, nhưng GAUSS về cuối đời vẫn đào tạo nhiều nhà Toán học giỏi như EISENSTEIN, RIEMANN và DEDEKIND.

Ông được mệnh danh là Ông hoàng của Toán học (Vua Toán học) hay Hoàng tử Toán học. Tuy nói ông "bỏ rơi” Toán học nhưng hậu thế vẫn tôn vinh ông là nhà Toán học lỗi lạc của thế kỷ, một trong những nhà Toán học vĩ đại của mọi thời đại, và ở ngành Toán học nào cũng có dấu ấn đậm của ông. Người ta kể lại rằng năm GAUSS 18-19 tuổi chuẩn bị vào Đại học, đang phân vân không biết chọn ngành Triết hay ngành Toán thì một sự kiện đã tạo nên bước ngoặc trong đời của nhà Toán học vĩ đại tương lai này: với 80 trang giấy nháp, GAUSS đã giải quyết hết sức đẹp bài toán dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước và compass. Từ thời cổ đại, bài toán này đã được đặt ra nhưng GAUSS là người đầu tiên đã giải quyết đẹp, trọn vẹn. Cơ sở lý luận của bài toán này đã được GAUSS trình bày trong Disquisitiones arithmetica. Ông nghiên cứu biểu thức xp–1 và p là một số nguyên tố. Ông chứng tỏ rằng những nghiệm của biểu thức này được diễn tả từ một loạt phương trình có hệ số hữu tỷ mà bậc là những ước nguyên tố của p–1. Điều này báo trước những kết quả của GALOIS, và GAUSS đã chứng minh rằng một đa giác đều n cạnh dựng được nếu và chỉ nếu n=2m.p1…pk trong đó m là một số nguyên tự nhiên và p1…pk là những số FERMAT. Vì vậy đa giác đều 257 cạnh hay đa giác dều 65537 cạnh đều dựng được bằng thước và compass.

Đầu đề của Luận án mà GAUSS bảo vệ năm 1799 là một chứng minh của định lý cơ bản của Đại số học: Mọi đa thức không phải là hằng, có hệ số thực, đều có thể thừa số hóa thành tích của những đa thức bậc 1 hoặc bậc 2 với hệ số thực (điều này có nghĩa là mọi đa thức không phải là hằng với hệ số thực đều thừa nhận ít nhất một nghiệm trong trường số phức). GAUSS cũng nhận xét rằng những chứng minh của D’ALEMBERT, EULER và LAGRANGE là chưa đầy đủ hoặc sai. Trong chứng minh của mình năm 1799, GAUSS đưa ra cách biểu diễn trong mặt phẳng các số phức và đề nghị một cách tiến hành dựa vào hình học. GAUSS đưa ra hai cách chứng minh mới của định lý cơ bản của Đại số học, một vào năm 1816 và một cách cuối cùng vào năm 1850. Để nghiên cứu tính chia hết, GAUSS đưa ra khái niệm hợp thức (đồng dư thức – congruence) mà chúng ta đều đã biết: ta nói các số nguyên b và c là hợp thức suất a (hay b và c đồng dư theo mod a) khi a chia hết cho (b – c), ta ký hiệu b≡  c(moda).

Ký hiệu ≡ là do GAUSS đặt ra. Ông còn tìm cách tổng quát hóa các quy tắc đại số áp dụng và đồng dư thức. Ông cho ví dụ về điều kiện cần và đủ để giản ước hoặc chứng tỏ rằng xy≡  0 đưa đến x≡  0 hay y≡  0. GAUSS còn giải phương trình ax+b≡  0. Ông còn cho nhận xét rằng những tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu trong đẳng thức vẫn còn giá trị trong đồng dư thức. GAUSS còn tổng quát hoá luật về tính nghịch đảo toàn phương đã dược LEGENDRE chứng minh, ngày nay ta gọi đó là những số nguyên GAUSS. Ông còn dự đoán (conjecture) rằng các số nguyên tố nhỏ hơn n là tương đương với nlnnkhin \to \infty$. Từ thời EUCLIDE đến GAUSS, một vấn đề ám ảnh nhiều nhà Toán học là Tiên đề về đường thẳng song song có chứng minh được bằng 4 tiên đề trước đó không ? Nhiều nhà Toán học trước GAUSS như SACCHERI (1667 – 1733), LAMBERT (1728 – 1777), LEGENDRE (1752 – 1833) đã từng thử chứng minh nhưng không thành công. Vậy phải chăng nó chính là Tiên đề (đời sau gọi nó là tiên đề 5 vì trước nó có 4 tiên đề khác). Năm 1810, GAUSS thấy cần đặt lại câu hỏi: phải chăng nó không chứng minh được ? GAUSS ngần ngại không dám công bố ý nghĩ đó và đành để vinh quang này cho LOBATCHEVSKI và BOLYAI, những nhà Toán học phát minh ra Hình học Phi EUCLIDE. GAUSS thích quay về một cách tiếp cận mới của Hình học xem như áp dụng Giải tích và hình học, ngày nay ta gọi nó là Hình học vi phân. NEWTON và LEIBNIZ đã từng nghiên cứu các đường cong nhờ phép tính vi phân mà hai ông vừa sáng tạo, EULER và MONGE đã tổng quát đến không gian 3 chiều. Nhưng phải đợi đến GAUSS thì vấn đề nghiên cứu các đường cong, các mặt ở lân cận một điểm mới thật sự có hệ thống. GAUSS còn tổng quát hoá nghiên cứu của HUYGENS và CLAIRAUT về độ cong của một đường cong phẳng hay ghềnh.

Ông còn định nghĩa độ cong – ngày nay ta gọi là độ cong GAUSS – của một mặt và cho một biểu thức của độ cong ấy bằng phương trình đạo hàm riêng. Điều này đưa tới việc nghiên cứu Trắc địa. Thiên tài của GAUSS còn thể hiện ở những lĩnh vực khác như Lý thuyết số, Lý thuyết các mặt.